БЕСКОНЕЧНОСТЬ, СВЁРНУТАЯ В КОЛЬЦО 

333

Необыкновенная, чудесная, волшебная, нереальная, загадочная – всеми этими эпитетами можно наградить ленту Мёбиуса (Möbius strip), одну из самых странных геометрических фигур.

Представим себе любую поверхность и сидящего на ней муравья. Удастся ли ему попасть на обратную сторону поверхности, не переползая через её край? Конечно же нет! Но лишь в том случае, если муравей сидит не на ленте Мёбиуса!

Это трёхмерная неориентируемая фигура с одной границей и одной стороной. Она относится к топологическим объектам, то есть объектам непрерывным, которые изучает топология (наука, исследующая непрерывность среды и пространства).

Два математика – Август Фердинанд Мёбиус и Иоганн Бенедикт Листинг (оба – ученики Карла Фридриха Гаусса) независимо друг от друга открыли её практически одновременно: в 1858. Но всё же назвали эту фигуру именем Мёбиуса.

Лента Мёбиуса напоминает своей формой перевёрнутую восьмёрку – знак бесконечности. Этот символ стал применяться гораздо раньше, чем была открыта лента Мёбиуса, однако смысл в таком сравнении определенно есть: ведь находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Она словно говорит о взаимопроникновении, взаимосвязанности и бесконечности всего в нашем мире.

Лента Мебиуса имеет следующие свойства:

1. Односторонность. У ленты Мёбиуса всего одна сторона и один край. Если начать закрашивать ленту Мёбиуса, то постепенно вся она будет закрашена целиком, при этом её не нужно будет переворачивать, чтобы закрасить с другой стороны. Да её и невозможно перевернуть при всём желании, поскольку поверхность у ленты Мёбиуса всего одна!

2. Непрерывность. Каждую точку этой фигуры можно соединить с другой её точкой, при этом ни разу не выходя за края ленты.

3. Связанность, или двумерность. Если разрезать ленту Мёбиуса вдоль по линии, равноудалённой от краёв, то получатся не две ленты Мёбиуса, как следовало бы ожидать, а всего одна – двухсторонняя, вдвое более длинная, вдвое более узкая и вдвое больше закрученная (т.е. с двумя полуоборотами), чем исходная лента Мёбиуса. Такую ленту фокусники называют «афганской»:

11

Если теперь эту афганскую ленту разрезать ещё раз вдоль посередине, получатся две афганских ленты, перекрученные между собой:

12

Если же разрезать первоначальную ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получатся две ленты: одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая – более длинная Афганская лента:

13

4. Хроматический номер. Это число, которое показывает, какое максимально возможное число областей на поверхности можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими: если по-разному выкрасить эти области, то любой цвет должен соседствовать со всеми остальными. У ленты Мёбиуса хроматический номер = 6 (у кольца из бумаги = 5; у плоского листа, цилиндра, сферы = 4; у тора = 7).

5. Отсутствие ориентированности. Если представить, что человек мог бы идти по этой фигуре, то при возвращении в точку начала своего путешествия он бы превращался в своё отражение и, таким образом, его путешествие могло бы продолжаться вечно.

662021

По своим свойствам лента Мёбиуса напоминает объект из Зазеркалья, да и сама она, будучи ассимметричной, имеет зеркального двойника. Отправим прогуляться вдоль ленты отпечаток правой ноги, и вскоре обнаружим, что домой вернулся отпечаток левой! А если вмонтировать в ленту двумерные часы и заставить из совершить полный оборот, то увидим, что стрелки на циферблате движутся с той же скоростью, но в обратном направлении!

Интересно, а если по такой поверхности идти быстро, можно ли увидеть себя самого со спины?!…

На самом деле на ленте Мёбиуса нельзя установить определённое направление вращения. Одно и то же движение можно воспринимать и как поворот по часовой стрелке, и как поворот против. Когда произвольно выбранная на ленте точка обходит её, одно направление непрерывно переходит в другое. При этом «правое» неуловимо сменяется «левым». Двумерное существо никаких изменений в себе не заметит. Зато их увидят другие такие же существа и, конечно же, мы,  наблюдающие за происходящим из другого измерения.

Существует гипотеза, что наша Вселенная – это огромная лента Мёбиуса. Тогда что будет, если мы с Вами будем очень-очень долго лететь на космическом корабле прочь от Земли? Мы улетим в бесконечность или вернëмся? Теория относительности А. Эйнштейна косвенно свидетельствует о том, что можем вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовали. Не будем ли мы тогда своим собственным зеркальным отражением или вообще отражением, перевëрнутым вверх тормашками?

Много ли нужно для бесконечности? 

Сделать ленту Мёбиуса легко: для этого надо взять длинную полоску и соединить её концы, предварительно перевернув один из них нечётное число раз (если сделать это чётное число раз, получится простая двусторонняя лента, перекрученная и соединенная в кольцо). 

Получится модель Вселенной, которая, вполне вероятно, не простирается во все стороны, а замыкается в себе самой — потому и бесконечна… Имеет лишь одну сторону — и ни конца, ни края… Удивительно, как мало места может занимать нечно бесконечное и как легко его создать! 

Это самое простое волшебство на свете: для его создания нужна всего лишь полоска бумаги и чуть-чуть клея. И несмотря на то, что совершаешь его ты сам, своими руками, всё равно непонятно, не укладывается в голове: как всего лишь одним поворотом листа бумаги можно двустороннюю поверхность превратить в одностороннюю, фактически совершить переход в иное измерение. Это ли не волшебство!!!

Рисунок1

 

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Google Buzz
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники